$1.000.000 US de premio al que responda esta pregunta matemática

Los valores de la función zeta de Riemann se muestran para diferentes entradas de números reales (eje horizontal) y números imaginarios (eje vertical). Las zonas negras son las que la función zeta devuelve cero, los “ceros” de la función. Los llamados ceros no triviales se encuentran a lo largo de la línea vertical en la que los números reales son iguales a ½.

Los números Primos, los átomos indivisibles de la aritmética, parecen estar sembrados al azar a lo largo de la línea de números, a partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y continua, sin patrón ad infinitum. Pero en 1859, el gran matemático alemán Bernhard Riemann planteó la hipótesis de que la separación de los números primos es consecuencia lógica de otros números, ahora conocidos como los “ceros no triviales” de la función zeta de Riemann.

De qué hablamos?

La función zeta de Riemann tiene entradas que pueden ser números complejos, lo que significa que tienen dos partes, un componente de“reales” y componentes “imaginarios”, y los rendimientos de otros números como salidas. Para ciertas entradas de valor complejo, la función devuelve una salida de cero; estas entradas son los “ceros no triviales” de la función zeta. Riemann descubrió una fórmula para calcular el número de primos hasta cualquier punto de corte determinado mediante la suma de una secuencia de estos ceros. La fórmula también dio una forma de medir las fluctuaciones de los números primos en torno a su separación típica, la cantidad mayor o menor a un primer numero dado sucede cuando se compara con lo que podría esperarse.

Sin embargo, Riemann sabía que su fórmula sería válida sólo si los ceros de la función zeta satisface una cierta propiedad: Todas sus partes reales tenían la igualdad de ½. De lo contrario la fórmula no tenía sentido. Riemann calculó los primeros ceros no triviales de la función zeta y confirmó que sus partes reales eran iguales a ½. El cálculo apoyó su hipótesis de que todos los ceros tenían esta propiedad, y por lo tanto, que la separación de todos los números primos seguido de su función seguían este patrón. Sin embargo, señaló que “sin duda sería deseable disponer de una prueba rigurosa de esta proposición.”

Un siglo y medio más tarde, lo que demuestra la hipótesis de Riemann sigue siendo posiblemente el problema sin resolver más importante en las matemáticas puras, una cuya solución se vendería por un premio de $ 1 millon de dolares, al Clay Mathematics Institute. Por el contrario, como el número teórico de Enrico Bombieri escrito en la descripción del problema, “el fracaso de la hipótesis de Riemann crearía el caos en la distribución de los números primos.”

A medida que los matemáticos han atacado la hipótesis desde todos los ángulos, el problema también ha migrado a la física. Desde la década de 1940, han surgido indicios intrigantes de una conexión entre los ceros de la función zeta y la mecánica cuántica. Por ejemplo, los investigadores encontraron que la separación de los ceros exhibe el mismo patrón estadístico que los espectros de los niveles de energía atómicas. En 1999, los físicos matemáticos Michael Berry y Jonathan Keating, sobre la base de una conjetura anterior de David Hilbert y George Pólya, conjeturaron que existe un sistema cuántico (es decir, un sistema con una posición y un impulso que están relacionadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg ) cuyos niveles de energía corresponden exactamente a los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Cada uno de estos niveles de energía, En, corresponde a un cero de la forma de Zn = ½ + iEN, que tiene una parte real igual a ½ y una parte imaginaria formada multiplicando En por el número imaginario i.

Si existiera un sistema cuántico, esto implicaría automáticamente la hipótesis de Riemann. La razón es que los niveles de energía de los sistemas cuánticos son siempre números reales (en oposición al imaginario), ya que la energía es una magnitud física medible. Y puesto que los En’s son puramente reales, se convierten en puramente imaginarios cuando se multiplica por i en la fórmula para el correspondiente Zn. Nunca hay un caso en el que una parte imaginaria de En’s se multiplica por i, anulando su propiedad imaginaria y que lo haga real, por lo que a continuación, contribuye a la componente real de Zn y lo cambia de ½ a otra cosa. Dado que los niveles de energía son siempre reales, las partes reales de los ceros de la función zeta siempre serían ½, y por lo tanto la hipótesis de Riemann sería cierta.

Los físicos han estado buscando desde 1999 un sistema cuántico cuyos niveles de energía correspondan a los ceros de la función zeta. En un artículo publicado el 30 de marzo en las Cartas de Physical Review , Carl Bender, de la Universidad de Washington en St. Louis, Dorje Brody de la Brunel University de Londres y Markus Müller de la Universidad de Ontario Occidental, propuso sólo un sistema candidato de este tipo . Pero es muy raro, y expertos externos dicen que es demasiado pronto para decir si va a conducir a una prueba.

Normalmente, los físicos describen sistemas cuánticos utilizando matrices matemáticas altamente simétricas cuyas soluciones, o “valores propios”, corresponden a niveles de energía del sistema. Las simetrías de estas matrices suelen garantizar que los números imaginarios se cancelan y los valores propios son reales, de manera que estas matrices tienen sentido como descripciones de los sistemas físicos. Pero durante 20 años, Bender y Brody han estudiado las descripciones de la matriz de los sistemas cuánticos que relajan los requisitos habituales de simetría y respetan una débil propiedad llamada paridad en tiempo (o PT) simetría. Después de una conversación con Müller en 2015 , descubrieron que podían escribir una matriz PT-simétrica cuya valores propios corresponden a los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. “Esto fue una verdadera sorpresa para nosotros”, dijo Brody. Sin embargo, debido a que la matriz fue sólo PT-simétrica, en lugar de seguir las habituales simetrías más estrictas, no es garantía de tener valores propios reales, la propiedad de que se aseguraría de que los ceros correspondientes tienen partes reales iguales a ½.

Los investigadores explicaron varios argumentos de por qué los valores propios de su matriz son probablemente reales, y por qué, en ese caso, la hipótesis de Riemann es probablemente correcta, pero quedaron cortas en probarlo. “Si va a ser difícil o fácil de completar las etapas que faltan, en este momento no podemos especular”, dijo Brody. “Es necesario seguir trabajando para conseguir una mejor sensación en cuanto a la escala de dificultad.”

Los expertos dicen que la nueva propuesta es interesante, pero que está lejos de ser cierta si los argumentos de los autores acerca de su sistema cuántico no convencional se pueden hacer riguroso. “Yo necesitaría más tiempo para dar una opinión relevante sobre la importancia de sus hallazgos como una estrategia hacia la hipótesis de Riemann,” dijo Paul Bourgade, un matemático de la Universidad de Nueva York. En particular, Bourgade dijo que le gustaría explorar en más detalle cómo el sistema cuántico propuesto se compara con una propuesta dada anteriormente por Berry y Keating que no se ha producido una prueba concreta.

Si los físicos algún día obtengan la interpretación cuántica de los ceros de la función zeta, según Bourgade, esto podría proporcionar un mango aún más preciso sobre los números primos que la fórmula de Riemann hace, ya que los valores propios de la matriz siguen distribuciones estadísticas muy bien entendidas. Se tendría también otras implicaciones; Berry espera que un sistema cuántico subyacente a los números primos serviría como un modelo simple de caos, demostrando cómo puede surgir un comportamiento caótico en relación con los primos de un sistema cuántico no caótico. Pero no estamos allí todavía. Teniendo en cuenta el tiempo que la hipótesis de Riemann ha resistido una prueba concluyente, Berry pidió precaución en darle demasiada importancia a cualquier avance parcial. “Esta última contribución a la hipótesis de Riemann ejemplifica a la perfección el dicho de Piet Hein,” Berry dijo: “Los problemas dignos de ataque demuestran su valor por devolver el golpe.”

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